Важнейшие функции в теории чисел.

§ 3. Важнейшие функции в теории чисел

Введение в математику переменных величин и функционального мышления во времена Ньютона коренным образом преобразило все естественные науки и расширило область их применения, изменив сам стиль исследовательской деятельности. Не избежала этой участи и теория чисел, в которой функциональный взгляд на многие числовые явления позволяет легко и быстро получать красивые и полезные утверждения. Знакомством с важнейшими функциями, занятыми в спектакле "Теория чисел" на главных ролях, с их работой, чаяниями и нуждами, мы займемся в этом параграфе.

Название этого параграфа и названия первых трех его пунктов взяты мной из классической книжки И. М. Виноградова "Основы теории чисел", ибо зачем придумывать самому уже давно и хорошо придуманное? Содержание же этих пунктов получилось гораздо обширнее, чем в вышеупомянутой книжке, поэтому работа предстоит тяжелая. Но чураться работы - означает добровольно обрекать себя на бесконечный нудный и утомительный отдых на Канарах, чем наносить непоправимый вред своему здоровью. Поэтому, приступим.

Пункт 12. Целая и дробная часть.

Определение . Пусть x О R - действительное число. Целой частью [ x ] числа x называется его нижнее целое, т.е. наибольшее целое, не превосходящее x ; дробной частью { x } числа x называется число { x } = x - [ x ].

Примеры. [2,81] = 2; {2,81} = 0, 81; [- 0,2] = -1; {-0,2} = 0,8.

Отметим, что эти две функции известны каждому со школьной скамьи; что целая часть - неубывающая функция; что дробная часть - периодическая с периодом 1 функция; что дробная часть всегда неотрицательна, но меньше единицы; что обе эти функции разрывны при целых значениях x , но непрерывны при этих x справа; что лучшие мои годы уже прошли, а юношеские мечты так и не воплотились в реальность. Не осуждайте эти функции за их простоту, а лучше взгляните на их дальнейшие применения, порой изящные и неочевидные.

Лемма 1. Показатель, с которым простое число р входит в разложение n ! , равен a = [ n / p ] + [ n / p ² ] + [ n / p ³ ] + ...

Доказательство. Очевидно, ряд [ n / p ] + [ n / p ² ] + [ n / p ³ ] + ... обрывается на том месте k , на котором p ^k превзойдет n . Имеем:

n ! = 1· 2· 3·...· p· ...· p ² ...· p ³ ...· ( n -1) · n .

Число сомножителей, кратных p , равно [ n / p ]. Среди них, кратных p ² , содержится [ n / p ² ]; кратных p ³ имеется [ n / p ³ ] и т.д. Сумма a и дает искомый результат, так как всякий сомножитель, кратный p ^m , но не кратный p ^m +1 , сосчитан в ней точно m раз: как кратный p , как кратный p ² , как кратный p ³ ,..., как кратный p ^m .

Пример. Показатель, с которым 5 входит в 643! равен:

[643/5] + [643/25] + [643/125] + [643/625] = 128 + 25 + 5 + 1 = 159.

Определение. Точка координатной плоскости называется целой, если обе ее координаты - целые числа.

Лемма 2. Пусть функция f ( x ) непрерывна и неотрицательна на отрезке [ a , b ]. Тогда число целых точек в области D = { a < x Ј b , 0 < y Ј f ( x )} равно

Доказательство. На вертикальной прямой с целой абсциссой x в области D лежит [ f ( x )] целых точек.

Еще одно забавное утверждение про целые точки относится к области комбинаторной геометрии:

Лемма 3. Пусть М - многоугольник на координатной плоскости с вершинами в целых точках, контур М сам себя не пересекает и не касается, S - площадь этого многоугольника,

где суммирование ведется по всем целым точкам А , лежащим внутри и на границе этого многоугольника, причем d _A = 1, если точка А лежит внутри М , и d _A = 1/2, если точка А лежит на границе М . Тогда T = S .

Доказательство этой леммы я здесь приводить не буду так как эта лемма, вообще говоря, не относится к теории чисел. Намечу только схему этого доказательства.

1) Для треугольника с вершинами в целых точках и без целых точек внутри утверждение очевидно.

2) Для выпуклого многоугольника - фиксируем одну из его вершин и соединяем ее прямыми с остальными вершинами - попадаем в случай треугольников.

3) Случай невыпуклого многоугольника рассматриваем как разность выпуклых многоугольников.

Что это я все время о целых частях, да о целых частях? Ассоциация независимых профсоюзов дробных частей уже собралась подавать на меня жалобу в ООН, поэтому я, чтобы не разжигать страсти, приведу замечательное утверждение о дробных частях, принадлежащее Лежену Дирихле (1805-1859).

Теорема. Для любого a О R число 0 является предельной точкой последовательности x _n = { a · n }.

Доказательство. Возьмем любое натуральное t и покажем, что неравенство

обязательно имеет решение в целых числах p и q , где q і 1. Пусть 0 = { a · 0}, { a · 1}, { a · 2},..., { a · ( t -1)}, { a · t } - ( t +1) штук чисел. Все они из отрезка [0, 1]. Разделим этот отрезок на t равных частей шагом 1/ t . По принципу Дирихле (именно для доказательства этой теоремы Дирихле и придумал свой знаменитый "принцип Дирихле" про t клеток и ( t+ 1) кролика, которым негде сидеть) в одной из частей отрезка лежит два числа { a · k ₁ } и { a · k ₂ }, где k ₂ > k ₁ . Имеем:

|{ a k ₁ } - { a k ₂ }| = | a ( k ₂ - k ₁ ) - ([ a k ₂ ] - [ a k ₁ ])| <

Положим k ₂ - k ₁ = q , [ a · k ₂ ] - [ a · k ₁ ] = p , ясно, что q Ј t . Тогда будем иметь

| a q - p | <

, 0 < q Ј t .

Это означает, что p / q - решение неравенства

Устремим t к бесконечности. Получим, что a q отлично от целого числа p менее, чем на 1/ t , а

Следовательно, либо 0, либо число 1 - предельная точка последовательности x _n ={ a · n }. Если число 0 - предельная точка, то все доказано. Если же предельная точка - число 1, то тогда для любого e > 0, найдется член x последовательности x _n такой, что x > 1 - e . Пусть x =1- d . Тогда 2 x = 2 - 2 d , а {2 x } (очевидно, что {2 x } - тоже член последовательности x _n ) не дотягивает до 1 уже на 2 d ; число {3 x } меньше 1 уже на 3 d , и т.д. Следовательно, можно подобрать такое натуральное k , что член { kx } будет меньше единицы на k d и попадет в e -окрестность нуля. Это означает, что число 0 также является предельной точкой последовательности x _n , а именно это и требовалось.

Очевидно, что если a = p / q - рациональное число, где ( p , q ) =1, то последовательность x _n ={ a · n } является периодической с периодом q и ее членами являются только числа

, …,

q -1

Несколько модернизировав рассуждения из доказательства предыдущей теоремы, можно обосновать любопытное следствие, так же принадлежащее перу Дирихле.

Следствие. Если число a О R иррационально, то члены последовательности x _n ={ a · n } всюду плотно заполняют отрезок [0, 1].

Попытайтесь доказать это следствие самостоятельно, а я на этом пункт 12 заканчиваю.

Задачки

1 . Постройте графики функций:

а) y = [ x ];

б) y = { x };

в) y = [ x ² ];

г) y = { x ² }.

Особое внимание уделите плавности линий, проработке отдельных элементов композиции, грамотной прорисовке точек разрыва.

2 . Аккуратно докажите следующие свойства целой части:

а) [ x + y ] і [ x ] + [ y ];

б) , где n О N ;

в) ;

г) , где n О N .

3 . Разложите на простые множители число 100! и подивитесь, у какого огромного числа вам удалось найти каноническое разложение!

4 . Решите уравнение: x ³ - [ x ] = 3.

5 . Докажите, что при любых a № 0 и b , уравнение [ x ] + a { x } = b имеет [| a |] или [| a |]+1 решений.

6 . Для каждого натурального n определите, сколько решений имеет уравнение x ² - [ x ² ] = { x } ² на отрезке [1; n ].

7 . Найдите предел:

8 . Докажите, что для любого натурального n имеет место оценка:

однако для любого e > 0, найдется натуральное n , удовлетворяющее неравенству

9 . Сколько целых точек лежит в области между осью абсцисс и параболой y = - x ² + 30?

10 . Найдите площадь многоугольника, который получится, если последовательно соединить отрезками точки А(0, 0), В(2, 7), С(4, 2), D(8, 8), E(10, 0), F(5, -5), A(0, 0).

11 . Докажите, что для любого иррационального числа a О R неравенство

имеет бесконечное множество решений ( p , q ) О Z ґ N и, следовательно, знаменатели q всех решений неограничены. *

* В теории приближения действительных чисел рациональными числами утверждение этой задачи звучит так: Всякое иррациональное число допускает степенной порядок приближения 1/ q ² . Это один из основополагающих фактов упомянутой теории.

ОБЪЯВЛЕНИЯ

Потерялась собака. Очухаешься, позвони 455893, Толик.

Познакомлюсь с симпатичной девушкой. Сам скромный и простой, как число 19.

Молодая, симпатичная блондинка, 90/60/90, купит вагон кровельного железа.

Классно точу карандаши. Тел. 74-62-86.

Молодой, неженатый, симпатичный доктор наук, жильем обеспечен, м\о, а\м, просит больше ему не звонить.