Мультипликативные функции.

§ 3. Важнейшие функции в теории чисел

Пункт 13. Мультипликативные функции.

В этом пункте с "чертоводюжинным" номером речь пойдет об одном важном классе функций, которому в теории чисел посвящены целые монографии (см., напр., книжку Г.Дэвенпорта "Мультипликативная теория чисел").

Определение. Функция q : R ® R (или, более общо, q : C ® C ) называется мультипликативной если:

1). Функция q определена всюду на N и существует а О N такой, что q ( а ) № 0.

2). Для любых взаимно простых натуральных чисел а ₁ и а ₂ выполняется q ( а ₁ · а ₂ ) = q ( а ₁ ) · q ( а ₂ ).

Пример 1. q ( а ) = а ^s , где s - любое (хоть действительное, хоть комплексное) число. Проверка аксиом 1) и 2) из определения мультипликативной функции не составляет труда, а сам пример показывает, что мультипликативных функций по меньшей мере континуум, т.е. много.

Перечислим, кое-где доказывая, некоторые свойства мультипликативных функций. Пусть всюду ниже q ( а ) - произвольная мультипликативная функция.

Свойство 1. q (1) = 1.

Доказательство. Пусть а - то самое натуральное число, для которого q ( а ) № 0. Тогда q ( а · 1) = q ( а ) · q (1) = q ( а ).

Свойство 2.

где р ₁ , р ₂ ,..., р _n - различные простые числа.

Доказательство очевидно.

Свойство 3. Обратно, мы всегда построим некоторую мультипликативную функцию q ( a ), если зададим q (1) = 1 и произвольно определим q ( р a ) для всех простых р и всех натуральных a , а для остальных натуральных чисел доопределим функцию q ( a ) используя равенство

Доказательство сразу следует из основной теоремы арифметики.

Пример 2. Пусть q (1) = 1 и q ( р a ) = 2 для всех р и a . Тогда, для произвольного числа,

Свойство 4. Произведение нескольких мультипликативных функций является мультипликативной функцией.

Доказательство. Сначала докажем для двух сомножителей: Пусть q ₁ и q ₂ - мультипликативные функции q = q ₁ · q ₂ , тогда (проверяем аксиомы определения)

1) q (1) = q ₁ (1) · q ₂ (1) = 1 и, кроме того, существует такое a (это a = 1), что q ( a ) № 0.

2) Пусть ( a , b ) = 1 - взаимно просты. Тогда

q ( a · b ) = q ₁ ( a · b ) · q ₂ ( a · b ) =

= q ₁ ( a ) q ₁ ( b ) q ₂ ( a ) q ₂ ( b ) =

= q ₁ ( a ) q ₂ ( a ) · q ₁ ( b ) q ₂ ( b ) = q ( a ) q ( b ).

Доказательство для большего числа сомножителей проводится стандартным индуктивным рассуждением.

Введем удобное обозначение. Всюду далее, символом

будем обозначать сумму чего-либо, в которой суммирование проведено по всем делителям d числа n . Следующие менее очевидные, чем предыдущие, свойства мультипликативных функций я сформулирую в виде лемм, ввиду их важности и удобства дальнейших ссылок.

Лемма 1. Пусть

- каноническое разложение числа a О N , q - любая мультипликативная функция. Тогда:

Если a = 1, то считаем правую часть равной 1.

Доказательство. Раскроем скобки в правой части. Получим сумму всех (без пропусков и повторений) слагаемых вида

где 0 Ј b _k Ј a _k , для всех k Ј n . Так как различные простые числа заведомо взаимно просты, то

а это как раз то, что стоит в доказываемом равенстве слева.

Лемма 2. Пусть q ( a ) - любая мультипликативная функция. Тогда

- также мультипликативная функция.

Доказательство. Проверим для c ( a ) аксиомы определения мультипликативной функции.

1).

2). Пусть

и все р и q различны. Тогда, по предыдущей лемме, имеем: (благо, делители у чисел a и b различны)

Итак, я перечислил шесть свойств мультипликативных функций, которые пригодятся нам в дальнейшем. Просьба хорошенько их запомнить и не унывать даже в самой тяжелой жизненной ситуации.

Задачки

1 . Предлагаю читателю самостоятельно доказать обратное утверждение к лемме 2 настоящего пункта, а именно, если

- мультипликативная функция и функция q ( n ) всюду определена хотя бы на N , то q ( n ) также обязана быть мультипликативной функцией.

2 . Пусть q ( p a ) = a для всех простых р . Вычислите

а) q (864); б) q (49500).

3 . Пусть q ( p a ) = a для всех простых р . Вычислите

4 . Пусть вещественная мультипликативная функция f ( x ) определена и непрерывна для всех x > 0. Докажите, что f ( x ) = x ^s для некоторого s О R , т.е. примером 1 настоящего пункта исчерпываются все непрерывные мультипликативные функции. *

* Самым первым на планете Земля этот факт установил О. Коши, интересовавшийся решениями функциональных уравнений следующих четырех видов:

f ( a + b ) = f ( a ) + f ( b ) ; f ( a + b ) = f ( a ) f ( b ) ;

f ( ab ) = f ( a ) + f ( b ) ; f ( ab ) = f ( a ) f ( b ) .

Он установил, что непрерывные решения этих уравнений имеют, соответственно, вид (в классе разрывных функций могут быть и другие решения):

Cx ; e ^Cx ; C ln x ; x ^C ( x > 0).