§5. Трансцендентные числа.

---

Пункт 28. Трансцендентность значений функции e^z.

Последний пункт нашей книжки имеет номер 28 - второе совершенное число и посвящен обсуждению одного замечательного свойства показательной функции.

Теорема (Линдеман). Если x  - алгебраическое число и x№0 , то число e^x - трансцендентно.

Поразительно, правда? Точки координатной плоскости с рациональными координатами всюду плотно заполняют эту плоскость, точки с обеими алгебраическими координатами (алгебраические точки) - тем более. Однако сплошная и ровная кривая - график функции y=e^x , не дергаясь из стороны в сторону, проходит спокойно и величаво между всеми алгебраическими точками, случайно раздавив только одну - (0, 1).

Из теоремы Линдемана также вытекает, например, что число ln 2 – трансцендентно, ведь 2=e^ln 2, а число 2 - алгебраическое. Оказывается, мы еще в средней школе видели массу трансцендентных чисел - ln 2, ln 3, ln ( ⁵Ц27) и т.п. – и совершенно не подозревали об этом. От нас скрывали правду! Это вопиющее нарушение прав человека и, в частности, ребенка. ООН! SOS! OON! СОС! Но прекратим орать на разных языках и перейдем к делу.

Доказательство теоремы Линдемана можно провести с помощью тождества Эрмита, аналогично тому, как была доказана трансцендентность p, с некоторыми усложнениями в преобразованиях. Именно так ее и доказывал сам Линдеман. Однако я пойду другим путем, ибо хочу познакомить читателей с основными идеями советского математика А. О. Гельфонда, приведшими в середине ХХ века к решению Седьмой проблемы Гильберта - проблеме о природе чисел вида a^b, где a,b - алгебраические и b - иррационально. Чтобы не дразнить ваше любопытство, скажу сразу, что числа вида a^b, где a,b - алгебраические и b - иррационально (например, 2^Ц2), являются трансцендентными, но мы этого доказывать не будем, так как от этого наша маленькая книжка по теории чисел может сразу превратиться в большую.

Доказательство трансцендентности значений показательной функции, предложенное Гельфондом, основывается на применении интерполяционных методов. В этом доказательстве, с помощью разложения функции e^xЧz в интерполяционный ряд Ньютона, строится последовательность многочленов P_n(x,y) c целыми коэффициентами такая, что |P_n(x,e^x)| достаточно быстро убывает с ростом n . Однако несложно получить оценку снизу значения произвольного многочлена с целыми коэффициентами от двух произвольных алгебраических чисел, поэтому предположение об алгебраичности чисел x и e^x породит противоречие между верхней и нижней оценками. Далее будут представлены три основных этапа доказательства Гельфонда: построение ряда Ньютона функции e^xЧz, построение многочленов P_n(x,y) и их оценка сверху, оценка |P_n(x,e^x)| снизу и сопоставление полученных оценок. Приступим.

Этап 1. Интерполяционный ряд Ньютона функции e^xЧz.

Пусть функция f(z) аналитическая в области D, точки z₁,z₂,...,z_nОD - фиксированы и, быть может, среди них есть совпадающие. Положим

F₀(t)=1, F_k=(t-z₁)(t-z₂)...(t-z_k); k=1,2,...,n.

Пусть zОD. При каждом k=1,2,...,n выполнено:

Умножим это тождество на F_k-1(z)/F_k-1(t). Получим:

.

Сложим эти тождества:

или

(Є)

Пусть С - простой замкнутый контур в D, точки z₁,z₂,...,z_nОD лежат внутри этого контура. Умножим тождество (Є) на (1/ 2pi)f(t) и проинтегрируем, пользуясь формулой Коши:

Обозначим:

В этих обозначениях:

zОD

– интерполяционная формула Ньютона для функции f(z) с узлами интерполяции z₁,z₂,...,z_n. Если же z₁,z₂,...,z_n,... - бесконечная последовательность узлов, а
для всех zОD, то

– интерполяционный ряд Ньютона для функции f(z) с узлами интерполяции z₁,z₂,...,z_n,.... Нетрудно подсечь, что при z₁=z₂=...=z_n=... из ряда Ньютона получается ряд Тейлора.

Пусть mОN. Хитрый Гельфонд взял за узлы интерполяции бесконечную периодическую последовательность периода m:

1, 2, 3, ..., m-1, m, 1, 2, ..., m-1, m, 1, 2, ...

т.е.

z_n=n для n=1,2,...,m,

z_n+lm = z_n.

Разложим функцию f(z)=e^xЧz, где xОC, x№0, в ряд Ньютона с такими узлами интерполяции. Запишем формулу Ньютона:

где:

- остаточный член. Пусть R – любое число, такое, что R > m. Оценим остаточный член при n > 2R в круге |z|ЈR. Пусть С - окружность |t|=n. Имеем:

1Јz_kЈm,

следовательно,

(1)

для всех z из круга |z|ЈR. Далее, т.к. n>2R>2m, на окружности |t|=n имеем:

|t-z_k|і|t|-|z_k|іn-m> n/2

|t-z|і|t|-|z|іn-R> n/2

значит,

(2)

Пользуясь неравенствами (1), (2), и неравенством |e^xЧt|Јe^|x|Чn, оценим интеграл:

Число R может быть выбрано сколь угодно большим, поэтому при любом комплексном z, функция f(z)=e^xЧzпредставляется в виде суммы ряда Ньютона с целочисленной периодической последовательностью узлов интерполяции z₁,z₂,...,z_n,...

Итак,

где

n=0,1,2,...

Выбирая за контур С окружность |t|=n, где n>2m, аналогично оценке остаточного члена в формуле Ньютона, получаем оценку сверху для коэффициентов ряда:

,

где число g>0 и зависит только от x. Этап 1 завершен.

Этап 2. Построение многочленов P_n(x,y) и их оценка сверху.

Поскольку последовательность узлов интерполяции периодическая, то в произведении

F_n+1(t)=(t-1)(t-2)...(t-z_n+1)

есть повторяющиеся сомножители. Обозначим число сомножителей вида (t-k) через n_k+1. Тогда это произведение можно переписать так (подразумевается, что n>m):

.

Ясно, что n₁+n₂+...+n_m+m=n+1, и n_k зависят от n . Кроме того, так уж устроена последовательность узлов интерполяции, что n₁-1Ј n_mЈ n_m-1Ј ...Ј n₁Ј n/m . Значит, коэффициенты ряда Ньютона можно записать так:

.

Окружим каждый узел интерполяции k (1Ј kЈm) окружностью Г_k с центром в точке k и радиуса, например, 1/3. Эти окружности не пересекаются и лежат внутри контура С. Если зафиксировать на них положительное направление обхода, то, по теореме Коши,

.

Обозначим h=e^x. Разложим для каждого k (1ЈkЈm) функцию e^xЧ t в ряд Тейлора по степеням (t-k):

.

Тогда

,

где H_k(t) – остаточный член, являющийся целой функцией, имеющей в точке t=k нуль порядка n_k+1. Это значит, что

.

Тогда

т.е. суммировать можно только до n_k. Как мы лихо обрезали ряд Тейлора, несмотря на то, что Тейлор не ортодокс! Обозначим при каждом k (1ЈkЈm):

l=0,1,...,nk.

(§)

В этих новых обозначениях коэффициент ряда Ньютона выглядит так:

.

Пусть М - наименьшее общее кратное чисел 1,2,...,m. Сейчас я докажу, что все числа a_k,l в коэффициенте A_n рациональные, а числа Mⁿa_k,l будут целыми. Число a_k,l равно вычету в точке t=k подынтегральной функции из интеграла (§), т.е. равно коэффициенту при (t-k)^-1 в разложении этой функции в ряд Лорана по степеням (t-k). Стиснем зубы и найдем это разложение.

Пусть sОN, 1ЈsЈm, s№k. Имеем:

.

Если положить t-k=Mu и разложить функцию 1/(t-s) в ряд по степеням u, то получится:

,

где bⁿ=-(M/ s-k)ⁿ⁺¹. Этот ряд абсолютно сходится в круге |u| < |s-k|/M.

Очевидно, что числа bⁿ=-(M/ s-k)ⁿ⁺¹ целые, т.к. М– наименьшее общее кратное чисел 1,2,...,m, а число |s-k| – целое и 1Ј|s-k|Јm-1.

Теперь, для того, чтобы получилось нечто похожее на подынтегральное выражение из строчки (§), надо перемножать ряды

в подходящих степенях и при разных s. Произведение

есть кусок подынтегрального выражения в (§) , оно отличается от самого подынтегрального выражения отсутствием множителя (t-k)^l / (t-k)^n_k+1 = (t-k)^l-n_k-1. Стало быть, это произведение содержит (n₁+1)+...+(n_k-1+1)+(n_k+1+1)+...+(n_m+1)=n-n_k сомножителей вида 1 / t-s. Посчитаем, наконец, это произведение:

,

где все c_n, очевидно, целые числа, т.к. они есть суммы произведений целых b_n (так уж ряды перемножаются, тут ничего не попишешь). Тогда подынтегральная функция в (§) равна

Это и есть искомое разложение в ряд Лорана. Нетрудно сообразить, что показатель n+l-n_k-1 равен -1 при n=n_k-l. Значит, искомый вычет есть

a_k,l = c_nk-l / M^n-l,

и является рациональным числом. Ну тогда, бесспорно, число Mⁿa_k,l - целое.

Далее все просто. Обратим снова свой взор на коэффициенты ряда Ньютона:

,

h=ex,

Если обозначить через r=max n_k=n₁, 1ЈkЈm, то, очевидно, выражение

будет многочленом с целыми коэффициентами от двух переменных x и h, его степень по переменной x не превосходит r, а степень по переменной h не превосходит m. Это и есть те самые многочлены с целыми коэффициентами, которые мы запланировали построить на втором этапе нашего доказательства.

Оценим высоту H_n (максимум среди абсолютных величин коэффициентов) многочлена P_n. Помним, что

l=0,1,...,nk, k=1,2,...,m

Поскольку tОГ_k и радиус Г_k мы взяли 1/3, то |t-k| < 1/2, а при s№k, |t-s| > 1/2. Значит,

и высота H_n многочлена P_n удовлетворяет неравенству

H_n<r!(2M)^r.

Оценим, наконец, |P_n(x,h)| сверху. В конце первого этапа мы получили оценку:

|A_n| < e^gn / nⁿ = e^gn-nln n.

Поскольку P_n(x,h)=r!MⁿA_n, а rЈn/m, то

|P_n(x,h)|<e^{gn-nln n+nln M+rln r}<e^{-(m-1 / m)nln n+Cn},

где С>0 - константа, не зависящая от n.

Этап 3. Оценка |P_n(x,h)| снизу.

Пусть a₁,a₂,...,a_m – алгебраические числа, Q – поле рациональных чисел, K=Q[a₁,a₂,...,a_m] - алгебраическое расширение поля Q, h - степень этого алгебраического расширения.

Напомню, что степенью алгебраического расширения называется степень примитивного минимального многочлена, корнями которого это расширение порождается. Это означает, что у каждого порождающего элемента поля K=Q[a₁,a₂,...,a_m] (примитивного элемента из K) имеется h штук сопряженных. В алгебраическом поле K=Q[a₁,a₂,...,a_m] степени h максимальное число линейно независимых над Q элементов равно h .

Сейчас мы докажем основной факт третьего этапа: Для любого многочлена с целыми коэффициентами P(z₁,z₂,...,z_m) степени k и высоты H , существует постоянная c=c(a₁,a₂,...,a_m)>0 такая, что:

либо |P(a₁,a₂,...,a_m)| і c^k/H^h-1,

либо P(a₁,a₂,...,a_m)=0.

Таким образом, алгебраические числа a₁,a₂,...,a_m произвольный многочлен с целыми коэффициентами либо обращают в ноль (в этом случае говорят, что числа a₁,a₂,...,a_m являются алгебраически зависимыми), либо значение этого многочлена находится достаточно далеко от нуля.

Пусть a_i=a_i⁽¹⁾,a_i⁽²⁾,...,a_i^(h) – все сопряженные с a_i в поле K=Q[a₁,a₂,...,a_m], 1ЈiЈm. Введем два обозначения. Через обозначим размер алгебраического числа a_i, – максимальный из модулей чисел, сопряженных с a_i. Через ||a_i||_K обозначим норму алгебраического числа a_i в поле K, ||a_i||_K=a_i⁽¹⁾,a_i⁽²⁾,...,a_i^(h) – произведение всех сопряженных с a_i. Проверьте сами, что ||a_i||_K действительно удовлетворяет всем аксиомам нормы.

Еще одно замечание. Целым алгебраическим числом называется алгебраическое число, минимальный многочлен которого (у него старший коэффициент всегда единица) имеет целые коэффициенты. Так, например, Ц3 и 1+ Ц5 / 2- целые алгебраические числа, а - Ц3 / 2 не целое, т.к. их минимальные многочлены суть, соответственно, x²-3, x²-x-1 и x² - 3/4. Если a - не целое алгебраическое число, то всегда можно подобрать некоторое натуральное число r такое, что ra будет корнем многочлена с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом 1, т.е. будет целым алгебраическим числом. Множество целых алгебраических чисел поля K обозначим через Z_K. Несложно проверить, что Z_K - кольцо и всегда ZМZ_K.

Приступим к доказательству основного факта третьего этапа. Предположим, что P(a₁,a₂,...,a_m)№0. Подберем натуральное число r так, что raОZ_K, i=1,...,m. Так как многочлен Р степени k c целыми коэффициентами, то

b=r^kP(a₁,a₂,...,a_m)ОZ_K, b№0.

Возможны два случая.

Случай 1. h=1 (т.е. K=Q ). Тогда

|b|=r^k|P(a₁,a₂,...,a_m)|і1, |P(a₁,a₂,...,a_m)|і1 / r^k.

Случай 2. h > 1. Обозначим

A_j=P(a₁^(j),a₂^(j),...,a_m^(j)), j=1,...,h.

Числа A₁,...,A_h будут сопряженными в поле K. По свойствам нормы

|||b||_K|=|||r^kA₁||_K|=r^kh|A₁A₂...A_h|і1.

Отсюда вытекает, что

.

Если

c_k1,...,kmОZ,

то

.

Ну, тогда из двух последних неравенств следует

,

а, собственно, это и требовалось доказать.

Наступил тот славный момент, когда у нас все готово для того, чтобы достойно завершить доказательство теоремы Линдемана. Давайте проделаем это. От противного. Ну пусть x№0 и h=e^x - алгебраические числа, h - степень алгебраического расширения K=Q[x,h], h>1. Разложим e^xЧz в ряд Ньютона с периодической целочисленной последовательностью узлов интерполяции

1,2,...,m-1,m,1,2,...,m-1,m,1,2,... ,

где m=h+1. Построим наши пресловутые многочлены P_n(x,h). Мы только что доказали, что либо P_n(x,h)=0, либо

где (вспоминаем устройство многочленов P_n(x,h). Мы только что доказали, что либо P_n(x,h)=r!MⁿA_n и оценку их высоты из второго этапа):

kЈr+m. HЈr ln r+n ln (2M), rЈn/m.

Отсюда моментально получается, что:

где D>0 - некоторая подходящая константа. Последнее неравенство и неравенство

,

полученное в конце второго этапа, при достаточно больших n противоречивы, значит, при всех достаточно больших n остается только возможность P_n(x,h)=r!MⁿA_n. Это означает, что, начиная с некоторого номера, все A_n=0, т.е. ряд Ньютона функции e^xЧz содержит лишь конечное число членов и функция e^xЧz является многочленом. Но этого не может быть потому, что не может быть никогда. (Например, потому, что функция e^xЧz периодическая, а любой нетривиальный многочлен - нет). Этим и заканчивается доказательство теоремы Линдемана.

Ё

Закончился последний пункт нашей небольшой книжки по теории чисел, но я не буду говорить здесь никаких прощальных слов, ибо, как всегда во всех сказках, самое интересное только еще начинается. Идите вперед! Изучайте теорию чисел и она оправдает ваши надежды. Числа не подвержены инфляции, политическим и экономическим потрясениям, коррупции и обману. Математика не может приносить разочарований, она приносит только восхищение окружающим миром и человеческим разумом. Я желаю вам - Будьте счастливы!