§5. Трансцендентные числа.

---

Пункт 26. Число e≈2,718281828459045...

Матушка-природа подарила нам несколько замечательных констант, весьма неожиданно появляющихся при попытках математического выражения и записи законов разных наук. С одной из таких констант - “основанием натуральных логарифмов” - мы познакомимся поближе в этом пункте.

Когда-то давно я учился в средней школе № 110 г. Свердловска. В школе нам страшно повезло - судьба послала нам великого учителя, сухощавого математика на железной ноге Николая Ивановича Слободчакова, по прозвищу “Колываныч”. Самым загадочным образом хулиганы и двоечники становились у него отличниками, а математика - любимым предметом. Еще в восьмом классе Колываныч говорил нам: “Дети! Запомните, что основание натуральных логарифмов обозначается буквой e в честь Леонарда Ейлера, а запомнить его десятичные знаки очень просто. Два и семь - помнят все. Дальше - 1828, - год рождения Льва Николаевича Толстого. Дальше - снова 1828, - год рождения Жюль Верна, а если вы тупые, то - опять год рождения Толстого. Потом идут углы равнобедренного прямоугольного треугольника - 45, 90, 45. А что идет потом - я сам не знаю...”. Потом Николай Иванович доказал нам, что 2<e<3 и загробным голосом сказал: ” Число e - трансцендентно!”. Этим словом мы потом обзывались на переменках. Когда я поступил в университет, я узнал, что

;
;
e - основание показательной функции, являющейся
решением задачи Коши: yў =y, y(0)=1;

и многое многое другое. Вразумительный ответ на вопрос, почему именно число e наиболее естественно взять за основание логарифмов, которые с таким основанием сразу становятся натуральными и пригодными к употреблению даже в период беременности, я нашел в книжке Ф. Клейна “Элементарная математика с точки зрения высшей”, том 1 , “Арифметика, алгебра, анализ”. Настоятельно советую ее прочитать, так как считаю, что с подобными книжками должен быть знаком каждый мало-мальски грамотный математик, ибо такие книжки составляют золотой фонд литературы о любимой нами науке.

Ряд сходится быстро (чего нельзя сказать про известные ряды, например, для числа p). Это значит, что частичные суммы ряда , будучи рациональными числами, очень хорошо приближают число e, поэтому естественно ожидать, что трансцендентность e удастся доказать относительно легко (а исследование природы числа p потребует гораздо больших усилий). Эти эвристические соображения действительно находят свое подтверждение на практике, но не будем торопить события и начнем по порядку.

Теорема 1. Число e иррационально.

Доказательство. Рассмотрим числа

и
.

Очевидно, что A_nО N, a_n>0. Оценим a_n сверху:

Итак, 0<a_n<1, т.е. a_n - всегда дробное число. Это означает, что при любом натуральном n, число n!e=A_n+a_n не является целым.

Пусть теперь e=p/q - рациональное число, p, qОN. Тогда q!e=q!p/q=(q-1!p) - целое число, что вопиюще противоречит факту, установленному тремя строчками выше.

Ё

Для доказательства трансцендентности героя этого пункта потребуются две леммы.

Лемма 1. Если g(x) – многочлен с целыми коэффициентами, то для любого kОN все коэффициенты его k-ой производной g^(k)(x) делятся на k! .

Доказательство. Так как оператор d/dx линейный, то утверждение леммы достаточно проверить только для многочленов вида g(x)=x^s, sі 0.

Если k>s, то g^(k)(x)є 0 и k!|0.

Если kЈ s, то

биномиальный коэффициент (^s_k) является целым числом и g^(k)(x) опять-таки делится на k! нацело.

Ё

Ключевая идея доказательства трансцендентности числа e принадлежит Шарлю Эрмиту. Впрочем, идея Эрмита сработала и при доказательстве трансцендентности числа p, а также некоторых других чисел специального вида, но это уже заслуга других математиков. А трансцендентность непосредственно числа e доказал Эрмит в 1873 году и это был исторически первый решительный прорыв в познание природы замечательных констант. Слава Эрмиту!!!!! (Это четыре восклицательных знака и один факториал.)

Лемма 2 (Тождество Эрмита). Пусть f(x) - произвольный многочлен степени k с действительными коэффициентами,

F(x)=f(x)+ fў (x)+ fў ў (x)+…+ f^(k)(x) - сумма всех его производных. Тогда для любого действительного (и даже комплексного, но нам это пока не понадобится) x выполнено:

(Є)

Доказательство. Интегрируем по частям:

Интеграл снова подвергнем процедуре интегрирования по частям, потом этой прцедуре подвергнем интеграл и так далее. Терпеливо повторив эту процедуру всего k+1 раз, получим:

Ё

Теорема 2 (Эрмит, 1873). Число е трансцендентно.

Доказательство. От противного. Ну пусть е - алгебраическое, степени m. Тогда

a_me^m+…+a₁e+a₀=0

для некоторого натурального m и некоторых целых a_m,…a₁,a₀, причем, очевидно, a_m№ 0 и a₀№ 0. Подставим в тождество Эрмита (Є) вместо х целое число k, попросим k принимать по очереди значения 0, 1, ... , m; умножим каждое равенство

соответственно на a_k, а затем все их сложим. Получим:

Так как (это наше противное предположение), то выходит, что для любого многочлена f(x) должно быть выполнено равенство:

(ЄЄ)

Противоречие, которое углядел Эрмит в этом равенстве, сразу и не заметишь. Но Эрмит на то и Эрмит, чтобы превосходить интеллектом 15756 наугад вместе взятых китайцев и двух Мао Цзэ-дунов. Он сначала сердцем почуял, а потом и мозгами воткнулся, что за счет подходящего выбора многочлена f(x) можно сделать левую часть (ЄЄ) ненулевым целым числом, а правая часть при этом окажется между нулем и единицей.

Возьмем многочлен , где n определим позже (nО N, и n будет очень большое).

Число 0 - корень кратности n-1 многочлена f(x), числа 1, 2, ..., m - корни кратности n, следовательно:

f^(l)(0)=0, l=1,2,…,n-2
f^(n-1)(0)=(-1)^mn(m!)ⁿ
f^(l)(k)=0, l=0,1, …,n-1; k=1,2,…,m

Рассмотрим j (x)=x^n-1(x-1)ⁿ(x-2)ⁿ…(x-m)ⁿ - многочлен, ужасно похожий на f(x), но с целыми коэффициентами. По лемме 1, коэффициенты j ^(l)(x) - целые числа, делящиеся на l!, следовательно, при l і n, у производной j^(l)(x) все коэффициенты - целые числа, делящиеся на n, т.к. j^(l)(x) получается из j ^(l)(x) делением только на (n–1)! . Именно поэтому

где А – подходящее целое число, а над знаком суммы стоит число (m+1)n-1 - степень многочлена f(x) и, хоть суммировать можно и до бесконечности, ненулевых производных у f(x) именно столько.

Аналогично

где B_k – подходящие целые числа, k = 1, 2, ..., m.

Пусть теперь nО N - любое целое число, удовлетворяющее условиям:

Снова рассмотрим равенство (ЄЄ):

В сумме слева все слагаемые - суть целые числа, причем a_kF(k) при k = 1, 2, ..., m делится на n, а a₀F(0) на n не делится. Это означает, что вся сумма, будучи целым числом, на nне делится, т.е. не является нулем. Следовательно,

Уф-ф!

Оценим теперь правую часть равенства (ЄЄ). Ясно, чтоЅ x-kЅ Ј m на отрезке [0;m]. Поэтому на этом отрезке

Тогда:

где константы C₀ и C₁ не зависят от n. Известно, что

поэтому, при достаточно больших n, правая часть (ЄЄ) меньше единицы и равенство (ЄЄ) невозможно.

Ё

После прочтения такого серьезного доказательства я советую вам отдохнуть. Впереди предстоят еще более серьезные испытания.

NS	СКАЗКА
Жила была курочка Ряба и были у нее Дед да Баба. Поднатужилась курочка как-то и снесла эллипсоид. Да не простой, а вращения. Бил Дед эллипсоид, бил, да не разбил - так и помер. Баба била, била - лишь фокус сместила. Мышка бежала, хвостиком махнула, но промахнулась и Бабу ранила. Плачет покойный Дед, плачет контуженная Баба, а курочка им в ответ кудахчет: "Кудах-тах-тах! Кудах-тах-тах!" - утешает.